Fotometrie

Das menschliche Auge

Aufbau des menschlichen Auges

Das Auge bildet ein dioptrisches System mit vier Elementen : Hornhaut, Vorderkammer, Linse und Glaskörper, die man zu zwei Funktionsgruppen zusammenfassen kann. Eine Gruppe besteht aus der Hornhaut und der mit Flüssigkeit gefüllten Vorderkammer, die andere Gruppe wird durch die Linse und den Glaskörper gebildet. Dargestellt ist der schematische Aufbau des menschlichen Auges mit der optischen Achse, die vom Hornhautscheitel zum hinteren Pol verläuft, der zwischen Netzhautgrube und Papille liegt, und der Sehachse oder Gesichtslinie, die das anvisierte Objekt mit der Netzhautgrube, der Stelle schärfsten Sehens, verbindet.

                                  

                          Aufbau des menschlichen Auges (Schematische Darstellung)

Das menschliche Auge zeichnet sich durch folgende besondere Fähigkeiten aus:

1.      Akkomodation

Die Brechkraft der Augenlinse kann durch die Änderung der Krümmung   der Linsenoberfläche mit Hilfe des Zillarmuskels so variiert werden, dass Gegenstände unabhängig von ihrer Entfernung vom Auge auf der Netzhaut scharf abgebildet werden.

2.      Pupillenreaktion (Adaption)

2.1    Lichtreaktion der Pupillen

Die schwarz erscheinende runde Blendenöffnung in der Iris ändert ihren Durchmesser gemäß der physiologischen Erfordernisse, die sich beim angestrengten Fixieren eines Objekts oder bei Änderung der Leuchtdichte im Gesichtsfeld ergeben.

2.2       Konvergenzreaktion

Die Fixierung von nahe gelegenen Objekten macht eine Konvergenz der Blicklinien nötig. Um unter diesen Umständen eine scharfe Abbildung auf der Netzhaut zu bekommen, wird vom Gehirn eine Pupillenverengung veranlasst.

2.3    Psychisch bedingte Erweiterungsreaktionen von Pupillen.

Freude, Schmerz, Angst oder Schreck können zu einer Erweiterung der Pupillen führen.

Die Netzhaut oder Retina besitzt  Stäbchen und  Zäpfchenzellen. Die Zäpfchen werden oberhalb einer (visuellen) Leuchtdichte von  erregt und ermöglichen das Tagessehen oder Zäpfchensehen. Sie sind im Mittelteil der Netzhaut innerhalb der Netzgrube im gelben Fleck besonders konzentriert. In diesem Bereich ist das schärfste Sehen möglich. Durch dauernde Augenbewegungen kann der relativ kleine Bereich hohen Auflösungsvermögens für ein großes Gesichtsfeld verwendet werden.

Die Stäbchen werden unterhalb einer Leuchtdichte von erregt und sprechen auf Helligkeitsunterschiede an. Die Zäpfchen können auf diese geringe Leuchtdichte nicht reagieren. Die Stäbchen sind außerhalb des Mittelteils in weniger hoher Konzentration verteilt als die Zäpfchen.

Augenempfindlichkeit

Die fotopische Augenempfindlichkeit  des helladaptierten Auges liegt im

Wellenlängenbereich von  bis  und hat ihr Maximum  bei . Sie ist durch das Verhältnis

                  

definiert, wobei

                  

die spektrale Strahldichte bei der Wellenlänge  ist und

                  

die spektrale Strahldichte bei der Wellenlänge, für die die Augenempfindlichkeit bestimmt werden soll. Wenn die (höhere ) Strahldichte  einer „monochromatischen“ Strahlung mit dem Wellenlängenintervall  den gleichen „Helligkeitseindruck“ (Erregung der Zäpfchenzellen) erzeugt wie die Strahldichte , lässt sich die Augenempfindlichkeit  gemäß ihrer Definition berechnen. Eine monochromatische Strahlung ist nicht durch eine einzige Wellenlänge gekennzeichnet, wie man es vermuten könnte, sondern durch einen relativ kleinen Wellenlängenbereich . Die obere Grenze der Leuchtdichte beträgt im fotopischen Bereich . Die skotopische Augenempfindlichkeit  des dunkeladaptierten Auges liegt im Wellenlängenbereich  bis  und hat Maximum  bei .Die untere Grenze der Leuchtdichte beträgt im skotopischen Bereich .

                     

                                                 Augenempfindlichkeit

Additionstheorem

Eine in das Auge eintretende monochromatische Strahlung im sichtbaren Bereich bewirkt eine Erregung der Empfängerzellen, die der Leuchtdichte des betrachteten Objekts proportional ist.

                  

Treffen nun mehrere monochromatische Strahlungen auf die Netzhaut, dann ist die Erregung der betreffenden Sehzellen gleich der Summe der Einzelerregungen. Gehört die Strahlung zu einem zusammenhängenden Teil eines Spektrums, so entspricht die Erregung dem folgenden Ausdruck.

                  

Die physiologische Bewertung einer Strahlung durch das menschliche Auge beruht auf der Additivität der Erregung durch die einzelnen Strahlungsfragmente. Die technischen Sensoren arbeiten nach dem gleichen Prinzip. Die Gültigkeit des Additionstheorems ist eine Grundbedingung für die Fotometrie.

Fotometrisches Strahlungsäquivalent

Bei der Berechnung optischer Systeme verwendet man einerseits die energetischen, strahlungsphysikalischen oder radiometrischen Größen und andererseits die visuellen, lichttechnischen oder fotometrischen Größen. Im Gegensatz zur Strahlungsphysik erfolgt in der Lichttechnik eine physiologisch-optische Bewertung der Strahlung mit Hilfe der Augenempfindlichkeit. Die Formelzeichen der energetischen Größen bekommen den Index „e“, die der visuellen Größen den Index „v“. Die Indizes können entfallen, wenn kein Zweifel an der Art der verwendeten Größen besteht. Die strahlungsphysikalische Größen, die sich auf den schwarzen Strahler beziehen, bekommen den Index „s“, wenn man diese Tatsache besonders herausstreichen will.

Der Zusammenhang zwischen energetischen und visuellen Größen gründet sich auf

          die fotopische bzw. skotopische Augenempfindlichkeit , ,

         die Einheit der Lichtstärke: Candela, cd,

          den Maximalwert des fotometrischen Strahlungsäquivalents: ,

          die Gesetzmäßigkeiten des schwarzen Strahlers (Plancksches Strahlungsgesetz).

Für eine monochromatische Strahlung erfolgt die Umrechnung der energetischen in die visuelle Größe je nach Höhe der Leuchtdichte des Objekts durch die Beziehungen

      bei einer Leuchtdichte von

     bei einer Leuchtdichte von

 ist eine spektrale, strahlungsphysikalische Größe und  eine spektrale, visuelle Größe (Tabelle der strahlungsphysikalischen und lichttechnischen Größen).

Für eine Mischstrahlung innerhalb eines zusammenhängenden Wellenlängenbereichs erfolgt die Umrechnung der strahlungsphysikalischen in visuelle Größen nach dem Additionstheorem durch Integration der durch die Augenempfindlichkeit  bzw.  gewichteten spektralen Größen über den gesamten Wellenlängenbereich. Je nach Leuchtdichte des Objekts geschieht die Umrechnung nach folgenden Beziehungen.

                  

                  

Der Maximalwert des fotometrischen Strahlungsäquivalents gründet sich auf die Einheit der Lichtstärke, das Candela. Nach DIN 5031 (Teil 3) vom Mai 1977 beträgt die Lichtstärke von  der Oberfläche eines schwarzen Strahlers mit der Temperatur des schmelzenden Platins  bei einem Druck von  senkrecht zur Oberflächre . Die Oberfläche dieses Strahlers hat demnach die Leuchtdichte .

Zur Bestimmung des maximalen fotometrischen Äquivalents  und  dienen die Beziehungen

                  

                  

 ist die von Einheiten befreite Strahlungsfunktion in Abhängigkeit von der Wellenlänge  mit einem Maximum von 1. Die maximale spektrale Strahldichte für eine Temperatur von  beträgt

                   .

Mit Hilfe des Planckschen Strahlungsgesetzes und der Augenempfindlichkeit  bzw.  ergeben sich mit Hilfe der numerischen Integration für die Integrale folgende Werte

                                  

                                  

Die Maximalwerten der fotometrischen Äquivalente betragen demnach

                    ,               .

 

Spektrale Strahldichte

 

 

 

Spektrale Strahldichte

 

 

Nun ist für das Fotometrisches Strahlungsäquivalent  einer Wärmestrahlung bei  in der DIN-Norm DIN 5031 (Teil 3) vom März 1982 zur Vereinfachung festgelegt worden, dass bei einer Strahlung mit einer Wellenlänge von  oder einer Frequenz von  der Lichtstärke  eine Strahlstärke von  entspricht. Dies gilt sowohl für den fotopischen (Tagessehen) als auch für den skotopischen (Nachtsehen) und mesopischen (Dämmerungssehen) Bereich.

Damit erhält der Maximalwert des fotometrischen Strahlungsäquivalents für das helladaptierte Auge mit  und  den Wert

                                         (-Gesichtsfeld)

                                         (-Gesichtsfeld).

Nach DIN 5031, Teil 3, Seite 2 vom März 1983 gilt für das dunkel adaptierte Auge (Nachtsehen) bei einer Wellenlänge von  und der Augenempfindlichkeit  für den Maximalwert des Strahlungsäquivalents

                   .

Im mesopischen Bereich (Dämmerungssehen) gilt für den Maximalwert des Strahlungsäquivalents bei einer Wellenlänge von  in Abhängigkeit von der äquivalenten Leuchtdichte

                   ,

wobei die äquivalente Augenempfindlichkeit  von der äquivalenten Leuchtdichte  abhängt.

Maximalwert des Strahlungsäquivalents im mesopischen Bereich für das -Gesichtsfeld in Abhängigkeit von der äquivalenten Leuchtdichte bei [DIN 5031 Teil 3]

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

1699

1599

1485

1253

773

686

683

684

0,4020

0,4271

0,460

0,5451

0,8836

0,9956

1

0,9985


Sender

Raumwinkel

Die Definition des Raumwinkels lautet

                                                    ,

wobei A eine zusammenhängende (sphärische) Fläche auf der Kugeloberfläche und D der Durchmesser der Kugel ist. Die Einheit des Raumwinkels beträgt .

Die Oberfläche einer Kugel beträgt

                   .

Die Oberfläche A einer Kugelkalotte beträgt

                  

mit D als Kugeldurchmesser und d als Kalottendurchmesser. Daraus leiten sich die folgenden Beziehungen für den Raumwinkel  ab, wenn  der halbe Kegelwinkel des die Kalotte bildenden Kegels ist.

                  

                  

                  

Der volle Raumwinkel, der den gesamten Raum erfasst, beträgt

                   .

                                          

                                                                  Raumwinkel  

Punktstrahler

Bei einem Punktstrahler ist die Strahl- oder Lichtstärke I nach allen Richtungen hin konstant und somit vom Raumwinkel  unabhängig. Die Abstrahlcharakteristik des Punktstrahlers ist also kugelförmig, wobei der Strahler im Mittelpunkt der Kugel liegt.

                  

Die Strahlungsleistung oder der Lichtstrom , die bzw. der von dem Punktstrahler (Index S: Sender) ausgeht, ist von dem durchstrahlten Raumwinkel  (Index S: Sender) abhängig. Der Raumwinkel, in den der Sender nutzbringend strahlt, wird durch die geometrischen Verhältnisse, z.B. durch Blenden oder Eingangspupillen von optischen Systemen oder durch die strahlenempfindliche Fläche von Fotodioden, die die Strahlungsleistung bzw. den Lichtstrom empfangen sollen, bestimmt.

                  

Ein Kegel mit dem halben Kegelwinkel  beschreibt den Raumwinkel

                   .

In den Kegelwinkel 2 des Senders ergießt sich also die Strahlungsleistung oder der Lichtstrom

                   .

In den vollen Raumwinkel

                  

fließt die Strahlungsleistung oder der Lichtstrom

                   .

Die Bestrahlungs- oder Beleuchtungsstärke

                  

auf einer sphärischen Empfängerfläche  im Abstand r von der Strahlungsquelle beträgt, wenn man den Raumwinkel  berücksichtigt

                   ,

                   .

Diese Beziehung ist auch unter der Bezeichnung „Fotometrisches Entfernungsgesetz“ bekannt. Wenn der Kegelwinkel , unter dem die Empfängerfläche  (Kalottenfläche) vom Strahler aus gesehen wird, relativ klein ist, kann auch mit der ebenen Empfängerfläche  gerechnet werden. Das lässt sich durch folgende Bedingung ausdrücken.

                  

Der Index S (Sender) ist nicht notwendig, wenn kein Zweifel vorhanden ist, ob es sich bei den strahlungsphysikalischen oder lichttechnischen Größen um eine Sendergröße oder Empfängergröße handelt.

Lambertscher Strahler

Der Lambertsche Strahler ist eine diffus strahlende, mattweiße Fläche, die das auf sie fallende Licht gleichmäßig reflektiert und vollkommen zerstreut. Die Strahl- oder Leuchtdichte L der reflektierenden oder auch selbstleuchtenden Senderfläche  ist über die Fläche und den durchstrahlten Raumwinkel konstant. Die Strahl- oder Lichtstärke I des Lambertschen Strahlers ist richtungsabhängig. Senkrecht zur Senderfläche  ist sie am größten. Parallel zur Senderfläche ist sie gleich Null. Die Abstrahlcharakteristik des Lambertschen Strahlers ist kugelförmig. Die Senderfläche tangiert die Abstrahlcharakteristik. Der Strahlungsfluss oder Lichtstrom , der von einem Lambertschen Strahler ausgeht und auf einen Empfänger trifft, sowie die Bestrahlungs- oder Beleuchtungsstärke E, mit der der Lambertsche Strahler auf eine Empfänger einwirkt, kann nur dann auf einfache Weise berechnet werden, wenn der Abstand r zwischen Sender- und Empfängerfläche gegenüber den Abmessungen der Senderfläche relativ groß ist. Das lässt sich durch folgende Beziehung ausdrücken.

                  

Senkrecht zur Senderfläche  tritt die größte Strahl- oder Lichtstärke  auf.

                  

Bei einem Austrittswinkel  gegenüber der Senkrechten hat die Strahl- oder Lichtstärke des Senders  die Größe

                  

                                 

                                                  Abstrahlcharakteristik

Lambertsches Gesetz

Die von einem Sender ausgehende Strahlungsleistung oder der Lichtstrom , die bzw. der in den Raumwinkel  und auf die Empfängerfläche  fällt beträgt

                   .

Wenn vorausgesetzt wird, dass der Abstand r zwischen Sender- und Empfängerfläche relativ groß ist gegenüber den Abmessungen der Empfängerfläche, kann der Austrittswinkel  gegenüber der Normalen der Senderfläche als konstant angesehen werden. Der Raumwinkel , unter dem die Empfängerfläche von der Senderfläche aus gesehen wird, beträgt unter den gleichen Bedingungen

                   .

Somit erhält man für den von der Senderfläche ausgehenden Strahlungsfluss oder Lichtstrom  

                   .

Ist die Normale der Empfängerfläche gegenüber der optischen Achse (Verbindungslinie zwischen Sender- und Empfängerfläche) um den Auftreffwinkel  geneigt, so muss die Empfängerfläche  entsprechend korrigiert werden. Für das vollständige fotometrische Grundgesetz ergibt sich dann

                  

Die Bestrahlungs- oder Beleuchtungsstärke

                  

kann unter Beachtung der Bedingung  auch in der Form

                  

geschrieben werden. Man erhält dann das fotometrische Entfernungsgesetz

                   .

Breitet sich die Strahlungsleistung oder der Lichtstrom  eines Lambertschen Strahlers in Form eines Strahlenkegels senkrecht zur Senderfläche aus, fallen also die Normale der Senderfläche und die Kegelachse zusammen und ist  der halbe Kegelwinkel des Strahlenkegels, so ergibt sich für die Strahlungsleistung oder Lichtstrom  folgende Berechnung.

                  

                  

                  

                  

                  

Der Abstand r, für den diese Beziehung gilt, muss groß sein gegenüber den Abmessungen der Senderfläche .

                  

                               Strahlengang eines Lambertschen Strahlers.

Die spezifische Ausstrahlung oder spezifische Lichtausstrahlung M

                  

kann unter Beachtung der Bedingung, dass der Abstand r groß ist gegen die Abmessungen der Senderfläche, auch in der Form

                  

geschrieben werden. Die spezifische Ausstrahlung oder Lichtausstrahlung eines Lambertschen Strahlers in den Halbraum, d.h. für einen Öffnungswinkel von

                   ,

beträgt demnach

                   .

Lumineszenzstrahler

Die Abstrahlcharakteristik eines Lumineszenzstrahlers muss messtechnisch ermittelt werden. Im Falle einer keulenförmigen Gestalt lässt sich die Charakteristik analytisch, d.h. mit Hilfe einer mathematischen Funktion beschreiben. Die Strahl- oder Lichtstärke  in Richtung des Austrittswinkels  gegenüber der Mittelachse beträgt dann

                  

In dieser Beziehung ist  die Strahl- oder Lichtstärke in Richtung der Mittelachse.  ist auch die größte Strahl- oder Lichtstärke, wenn die Leuchtdiode nicht „schielt“. Die Form der Keule wird durch den Schlankheitsgrad n festgelegt. Bei  liegt ein Lambertstrahler vor. Für die Strahlungsleistung oder den Lichtstrom , der sich in einen Kegel mit dem halben Kegelwinkel ergießt, ergibt sich

                   ,

                   ,

                   ,

                   ,

                   n > 1     n ganze Zahl.

Der Grenzwinkel  der keulenförmigen Abstrahlcharakteristik beträgt

                   .

Die Gleichung zur Berechnung der Strahlungsleistung oder des Lichtstroms  gilt nur bei großem Abstand r zwischen Sender und Empfänger.

Neben der Abstrahlcharakteristik und der maximalen Strahl- oder Lichtstärke  ist die Lumineszenzdiode noch durch ihre Strahlungsfunktion  gekennzeichnet, die die Verteilung der Wellenlänge der Strahlung angibt.